五、赔率的数学模型。
（一）基础数据模型。
在西方，成规模的博彩业已经有了200多年的历史，涌现出了许多建立在严格的数学统计基础上竞技比赛结果的预测方法，根据我们掌握的资料，有三种权威的预测方法目前被广泛地应用于预测足球比赛的胜负平结果，有一些专家甚至声称，欧洲几乎所有的博彩公司都在这三种预测方法的基础上建立起数学模型，从而决定本公司在一场足球比赛以前开出怎样的初始赔率。
这三种被广泛应用的权威预测方法是：一、埃罗（ELO）预测法；二、进球率比较预测法；三、六场战绩比较预测法。
1、埃罗预测法：
埃罗预测法是美国物理学家Aroad Elo博士创立的，Elo博士最早将这套方法用于预测国际象棋的比赛结果。他在自己的《棋分高下：过去和现在》一书中对该方法作了详细说明，通过对1500场英超比赛的研究，杰奎斯·布莱克对Elo预测法进行了不懈地改进，现已经被广泛应用足球赛事中。Elo预测法的改进模型是通过研究主客场球队在比赛前的积分情况来预测胜负的，Elo预测法的预测回归方程式为：
主场球队取胜的可能性 =44．8％+（0．53％乘以两队积分差）
客场球队的获胜可能性=24．5％+（两队积分差乘以0．39％）
这两个回归方式的得出过程如下：
首先，根据数学专家的研究表明，足球比赛中主客场双方实力的发挥似乎有一个“限度”，如果用埃罗预测法中的双方的分之来表示其实力的话，那么当将主场球队的优势设定为其实力的7％，而将客场球队的优势设定为其实力的5％时，应用埃罗预测法所预测的结果与实际比赛结果最为接近；而“限度”即为7％+5％=12％。
（1）比赛限度。
根据德拉普金和弗西斯的研究结果，如果比赛双方的赛前得分均为100分的话，主场球队的优势为7分，而客场球队的优势为5分，而“限度”为7+5=12分；该12分谁赢“赢家通吃”；而如果两队的比赛出现平局，则两队就各得6分。
该方法的具体应用如下（假定两队赛前分值均为100分）：
如果主场球队胜，则主场球队在赛后分值调整为105（+100-7+2），而客场球队分值调整为95（=100-5）；
如果客场球队获胜，则客场球队的赛后分值调整为107（=100-5+12），而主场球队分值调整为93（=100-7）；
如果比赛以平局告终，则主场球队的赛后分之调整为99（=100-7+6），而客场球队赛后分之调整为101（=100-5+6），而客场球队赛后分值调整为101（=100-5+6）。
也就是说，主场球队在赛前的积分超出客场球队越多，主场球队在比赛中取胜的可能性就越大。
（2）积分差与主队获胜的关系。
我们根据线型回归的方式，可得知相关系数（R）显示“积分差”与“主队获胜”二者之间的相关性非常显著，相关系数经运算得出为0．42。也就是说，主场球队取胜的原因，有42％可以用主场球队和客场球队在赛前的积分差来解释。当然，主场球队取胜的原因仍然有58％需要用积分差之外的其他因素来解释。尽管如此，对1，500多场比赛（用统计学的术语来说，就是1500多个样本）进行分析，得出的0．42相关系数无论如何都表明相关性是极其显著的。
通过回归方程，还可以找出二者之间具体的数量关系，即y=0．0053x+0．448，其中，x为主客场队之间的积分差，y主场球队取胜的可能性。
（3）积分差与客队获胜的关系。
和上面所说相同，赛前的积分差与客场球队获胜的可能性之间的相关系数（R）为0．45，表明两者之间显著相关。也就是说，客场球队取胜的原因有45％可以用比赛双方的赛前积分差来解释，其回归方程为（y=-0．0039x+0．2452）
上述分析表明，如果参赛双方的积分相同，客场球队取胜的可能性为24．5％；如果参赛双方积分不同，那么客场球队的积分比主场球队的积分每高一分，客场球队获胜的可能性就增加0．39％；而主场球队的赛前积分比客场球队的积分每高一分，客场球队获胜的可能性即下降0．39％，由此，我们得出了开篇时的两个预测回归方程式。
（4）积分差与平局之间的关系。
埃罗积分能够得出主客胜的关系，那是否能得出平局的关系呢？经过研究，引人注目的是参赛双方的积分差与出现平局的可能性之间没有显著的相关关系。不论采用线性回归的方式，还是采用非线性回归的方式，都无法得出二者的显著相关的结论。线性回归的相关系数（R）为0．048，而采用非线性回归方式相关系数（R）也仅为0．079，从统计学上来说，这样的相关系数是没有意义的。因此，无法判断出积分差与平局出现的可能性之间的关系，这是埃罗预测法的局限所在。
2、进球率预测法：
在1990年的伦敦国际博彩会议上，大卫·杰克逊和K.R.莫舍斯基提交了一篇名为《比赛中的指数博彩》的论文。在该论文中，他们认为某场赛事的结果是与参赛球队在以往的进球率有关系的，因此可以通过考察参赛球队以往的进球率来预测比赛结果。具体方法如下：
以Ra表示参赛的A队以往的进球率，以Rb表示参赛的B队以往的进球率；则本场赛事的总进球数即可以用Ra+Rb来预测，而两队的胜负则可以用Ra-Rb来预测。
杰克逊和莫舍斯基在论文中还以1990年7月在意大利举行的世界杯比赛中英格兰队对爱尔兰队的比赛为例，对他们的理论的应用进行了检验。
英格兰队在主要国际赛事中平均进球率为1.29，而爱尔兰队的平均进球率是0.73。应用他们的方法，英格兰队胜爱尔兰队的可能性为0.56(=1.29-0.73),而预测的“总进球数”为2.02(=1.29+0.73)。赛前指数博彩公司开出的英格兰胜的指数为0.85-1.1,总进球数指数为2.1-2.4。因为总进球数指数与应用这一方法所得出的预测结果很相近，所以在这方面下注赢彩机会几乎没有。不过，英格兰胜的指数最低为0.85，比起运用杰克逊-莫舍斯基方法得出的预测数字0.56要高出很多，这就意味着卖出这一指数是有利可图的。
这场比赛以1-1的平局告终，给卖出英格兰胜指数的下注者带来的利润是0.85X单位赌注。对该场比赛而言，杰克逊和莫舍斯基的预测方法是很准确的，但遗憾的是他们没有进一步给出将该方法运用于其他比赛的例子。
该方法的特点是看来很有道理，而且应用也简便。但该方法主要适用于指数博彩，对于我国目前只竞猜“胜、平、负”的方式来说，并不适用。但其用进球率来预测比赛结果的方法，值得我们借鉴。
（1）平均进球率和球队实力之间的关系
采用平均进球率来对比赛结果进行预测，首先必须回答的一个问题是平均进球率和球队实力之间是否存在一定的关系。如果二者之间并不存在相关关系的话，则根本无法用平均进球率来进行预测。
我们认为，积分榜排名在相当程度上代表了球队的实力。表2-1是2000—2001赛季英超和意甲最后的排名和各队的平均进球率。按照杰克逊和莫舍斯基的定义，平均进球率的计算方法是：平均进球率=某队总进球数/该队比赛场次数。表2-1中各队的平均进球率是该队在2000-2001赛季的总进球数除以比赛场次数的结果。例如，曼联在2000-2001赛季总进球数为79个，比赛场次数为38场，故其平均进球率为79/38=2.08。
表2-1球队积分榜排名与平均进球率名次
英超联赛 意甲联赛
球队 平均进球率 球队 平均进球率
1 曼联 2.08 罗马 2.00
2 阿森纳 1.63 尤文图斯 1.79
3 利物浦 1.84 拉齐奥 1.91
4 利兹 1.68 帕尔玛 1.50
5 伊普斯维奇 1.50 国际米兰 1.38
6 切尔西 1.79 AC米兰 1.65
7 桑德兰 1.21 亚特兰大 1.12
8 阿斯顿维拉 1.21 布雷西亚 1.29
9 查尔顿 1.32 佛罗伦萨 1.56
10 南安普顿 1.05 博洛尼亚 1.44
11 纽卡斯尔 1.16 佩鲁贾 1.56
12 托特纳姆热刺 1.24 乌迪内斯 1.44
13 莱切斯特 1.03 莱切 1.18
14 米德尔斯堡 1.03 雷吉纳 1.00
15 西汉姆 1.18 维罗纳 1.18
16 埃弗顿 1.18 维琴查 1.09
17 德比 0.97 那不勒斯 1.03
18 曼城 1.11 巴里 0.91
19 考文垂 0.95
20 布拉德福德 0.79
我们对各球队在积分榜上的名次与平均进球率之间的关系进行了相关分析，结果如图2-1所示。从相关分析可以看出，积分榜名次与平均进球率呈负相关关系。且对英超而言，二者的相关系数为0.8743；对意甲而言，二者的相关系数为0.8410，均为显著相关关系。
因此，我们可以得出结论，平均进球率在一定程度上代表了球队的实力，可以用平均进球率对比赛结果进行预测。
（2）预测准则
足球比赛结果的预测像对其他任何事情的预测一样，不可能做到完全准确，我们所能做的是努力提高准确率。对于利用平均进球率来预测比赛结果而言，具体应该考虑三个因素。
a、球队的实力
球队的实力在此是用平均进球率来表示的，因此，平均进球率越高，则表明球队实力越强。但对任何一场赛事而言，实力强大的球队并不总能取得比赛的胜利。这也就是我们经常说的“足球是圆的”的道理。
例如2000年12月9日，英超2000—2001赛季中曼联客场与查尔顿主场的比赛。曼联的实力显然要超出查尔顿，从实力而论应该是曼联赢，可结果却是双方3：3战平；又如该赛季2001年5月5日曼联主场对考文垂的一场比赛，无论从实力上讲，还是从地利上讲，都应该是曼联取胜，可结果却是曼联以0：1败北。
同样的例子屡见不鲜。2001的1月14日，2000—2001赛季意大利甲级联赛罗马主场对巴里，罗马队即有主场之利，实力又远胜于巴里，从道理上讲应该是罗马队赢，实际比赛结果却是双方以1：1战平。
因此，球队实力是决定比赛结果的重要因素，但不是唯一因素。
b、主客场的影响
主场球队由于得地利之便，取胜的可能性要大于客场球队。
我们对2000—2001赛季英格兰超级联赛和意大利甲级联赛的统计结果的分析充分说明了这个问题。如表2-2和表2-3所示。
表2-2英格兰超级联赛2000/01赛季结果
总场数 主场胜 客场胜 平局
场数 比例 场数 比例 场数 比例
380 184 48．4％ 95 25．0％ 101 26．6％
表2-3意大利甲级联赛2000/01赛季结果总场数 主场胜 客场胜平局
场数 比例 场数 比例 场数 比例
306 143 46．7％ 75 24．5％ 88 28．8％
从表中可以看出，英格兰超级联赛，主场胜的比例为48.4%，而客场胜的比例仅为25.0%；意大利甲级联赛主场胜的比例为46.7%；客场胜的比例为24.5%。
主场取胜的比例高于客场取胜的比例是一个规律，与球队的实力似乎没有关系，几乎任何一个球队的主场胜率都高于其客场取胜率。
c、其它因素
除了球队实力和主客场因素外，还有许多因素会对比赛结果产生影响，例如球员的竞技状态、伤病情况等等，在此不再赘述。本着上述原则，经过反复检验和调整，对于平均进球率预测法而言，我们发现用下面的规则对英格兰超级联赛和意大利甲级联赛进行预测的结果是准确率最高的。
准则1、当参赛双方的平均进球率之差为0.30（不含0.30）以上时平均进球率高的球队胜；
准则2、当参赛双方的平均进球率之差为0.10以上至0.30（含0.30）时，若主场球队的平均进球率高，则主场球队胜；
准则3、当参赛双方平均进球率之差为0.10以上至0.30（含0.30）时，若主场球队平均进球率低于客场球队的平均进球率，则主场球队胜或平。
准则4、当参赛双方平均进球率之差为0.10（含0.10）以下时，主场球队胜或平。
这四个预测准则既考虑了球队实力，又考虑了主客场因素。因为各队经过10场比赛之后的平均进球率才能够真实反映球队的实力，所以平均进球率的使用，一般是从第11轮开始的。另外需要说明的是，由于每场比赛后，各队的平均进球率会发生变化，因此该指标能够动态地反映球队实力
值得着重指出的是，用平均进球率对比赛结果进行预测时，必须要根据球队上一场比赛中的进球情况对其平均进球率进行调整；调整后的进球率才能作为预测的依据。例如某球队在前10场比赛中共进球15个，则在预测其第11场比赛结果时，所应用的平均进球率是15/10=1.5；若第11场比赛，该队又攻进对手1个球，则在预测其第12场比赛时，其平均进球率就应调整为（15+1）/11=1.45。
3、六场预测法：
六场预测法是英国的报纸传媒提供给广大彩民的简单的预测方法。英国的报纸每周都会刊登下周足球赛事，并将每个参赛队最近六场的比赛结果以表格的形式刊登出来。按照时间顺序，胜一场以一个“W”表示，输一场以一个“L”表示，平一场以一个“X”表示。
该方法进行预测的假设前提是认为在足球比赛中一个球队的某种近期趋势会延续下去。例如，如果主场作战的球队已经连续赢了六场球，即其近期六场比赛的结果为WWWWWW；而客场作战的球队已经连续输了六场球，即其近期六场比赛结果为LLLLLL；则预测结果就是主场球队赢。同样，如果参赛的两个球队在最近的六场比赛中平了四场，例如，最近六场比赛结果为XWXXLX，则极有可能这两个队在即将开始的比赛中也会以平局告终。
（1）六场预测法的问题及改进。
上述六场预测法的理论基础虽然有一定的道理，但在实际应用中却存在以下几个问题：
首先，在实际赛事当中，很难出现两个比赛球队之间恰好是WWWWWW对LLLLLL的情况，在2000/01赛季当中，英超和意甲从第七轮开始的560场比赛中，这种情况一次也未出现过。
其次，在应用六场预测法进行预测时，很难找出预测的规则，因此，使得其应用受到极大地限制。
例如，2000年12月16日，切尔西对米德尔斯堡的一场比赛。按照六场预测法，赛前切尔西队的前六场比赛结果是LXLLWW，而米德尔斯堡的前六场比赛结果是LLLXLL，按照六场预测法的理论，这种趋势会持续下去的话，则该场比赛的预测结果是切尔西胜，但实际结果却是米德尔斯堡胜。
另外，像2001年2月3日利物浦对西汉姆的比赛，赛前六场两队的比赛戒分别是利物浦为WLWWXX，西汉姆为LWLLXX，即两队在该场比赛之前，均有两场平局，应该预测该场比赛为平局吗？实际结果是利物浦胜。
六场预测法的合理之处在于将一个球队的近期表现考虑在内，而其不足之处如上所述，因此有专家对六场预测法进行改进，使得它更便于应用。
改进的具体方法为，将某场赛事之前两支参赛球队的近期六场表现转化为一定的数值，两支球队各自的数值代表了其近期状况和实力，而两队之间该数值的“差”即表示了近期表现和实力的差距，进而可以根据该差值来判断比赛的胜负。
具体的计算方法为：借用英格兰超级联赛和意大利甲级联赛的积分计算方法，某场赛事之前某球队六场的比赛结果中，每胜一场（即一个W）计为3分，每平一场（即一个X）计为1分，每负一场（即一个L）计为0分。如若某队某场比赛之前的六场全赢，即按照六场预测法为WWWWWW，则该队得分为18分；若为LLLLLL，则计为0分：若是WLXXWW则计为11分。
（2）预测准则
六场预测法同样要考虑球队的实力和主客场等因素制，在此不再详述。我们用上述经过改进的六场预测法，对英格兰超级联赛和意大利甲级联赛2000/01赛季从第七轮开始的560多场比赛进行了预测，得出如下预测准则：
准则1当对赛的两队六场积分差为6或6以上时，六场积分高的球队胜；
准则2当对赛的两队六场积分差为5时，若主场球队六场积分高，则主场球队胜；若主场球队六场积分低，则主场球队胜或平；
准则3当对赛的两队六场积分差为2—4时，则六场积分高的球队胜。
准则4当对赛的两队六场积分差为1或0时，则主场球队胜或平。
（3）六场预测法的准确率
a、总体准确率
英格兰超级联赛从第七轮开始共预测321场，其中有182场预测正确，准确率为56．7％。
意大利甲级联赛从第七轮开始共预测252场，其中有136场预测正确，准确率为54．0％。
b、各段准确率
英格兰超级联赛六场积分差为6或6以上时，准确率为42．7％；六场积分差为5时，准确率为70．6％；六场积分差为2～4时，准确率为51．2％；六场积分差为1或0，准确率为77．5％。
意大利甲级联赛六场积分差为6或6以上时，准确率为48．1％；六场积分差为5时，准确率为57．1％；六场积分差为2～4时，准确率为41．9％；六场积分差为0或1时，准确率为78．0％。
对于英超而言，明显低于总体准确率的是六场积分差为2、7、8及10以上时；对于意甲而言，明显低于总体准确率的是六场积分差为2、3、8时。
而英超六场积分为2、7、8及10以上的场数占总场数的比例为27．7％；意甲六场积分为2、3、8的场数占总场数的比例为30．9％。也就是说，对于英超而言，可以较准确地预测72．3％的比赛；对于意甲而言，可以较准确地预测69．1％的比赛。因此，六场预测法应用于英超比赛，每一轮的10场赛事中，可以较准确地预测7场；而应用于意甲比赛，每轮9场赛事中，可以较准确地预测6场。
本文所阐述的这三种模型，都是从比赛本身的角度来探讨赛果，也可以说是一种模仿博彩公司通过模型得出赔率的过程，与博彩公司所开出的赔率自身并无直接联系。但我们可以发现，博彩公司的赔率模型，从理论上而言，也是基于这三个客观数据模型而建立的，发现其共通之处，自然对我们了解比赛的进程，得出比赛赛果大有裨益。
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